User:Zelenka/Statistics/excercises 8.1.2008

From eqqon

4.12) Ein Zufallspunkt (X, Y ) in der Ebene wird nach einer bivariaten Normalverteilung mit μ_x = &mu_y = 0, σ_x = 2, σ_y = 3 und ρ = 0 gewählt. ;Bestimmen Sie

(a) W{Y > X}, W{X < 0, Y > 0};

(b) die Wahrscheinlichkeit, daß der Punkt im Quadrat mit den Eckpunkten (1, 1), (1,−1), (−1,−1), (−1, 1) liegt.

4.14) Ein Punkt (X, Y ) wird zufällig im (a) Einheitsquadrat; (b) Viertelkreis (Radius=1) gewählt. Bestimmen Sie den Erwartungswert des Umfangs des entstehenden Rechtecks.

4.15) Fortsetzung von Aufgabe 14

Bestimmen Sie den Erwartungswert der Fläche des Rechtecks.

4.17) Fortsetzung von Aufgabe 3

Bestimmen Sie den Korrelationskoeffizienten ρ_X,Y .

4.20) Die gemeinsame Dichte von (X, Y ) sei f(x, y) = C(x + y) für (x, y) 2 (0, 1) × (0, 1) und f(x, y) = 0 sonst.

(a) Welchen Wert hat die Konstante C ?

(b) Bestimmen Sie die beiden Randdichten von X und Y .

(c) Bestimmen Sie den Korrelationskoeffizienten von X und Y .

(d) Sind X und Y unkorreliert? unabhängig?

4.21) Fortsetzung von Aufgabe 20

(a) Bestimmen Sie die bedingten Dichten von X|Y = y und von Y |X = x.

(b) Bestimmen Sie die Regressionsfunktionen von X bezüglich Y und von Y bezüglich X.

4.26) Die logische Struktur eines Systems bestehend aus drei Komponenten sei gegeben wie folgt:

Die Lebensdauern der Komponenten seien unabhängig und identisch verteilt mit Dichte f(x) = e^−x I_(0,1)(x). Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion und die Dichte der Lebensdauer des Systems sowie den Mittelwert.